Jeu de la fête foraine

Dans une fête foraine, un jeu est organisé ainsi : le joueur mise \(2\)  euros puis il réalise un tirage en deux étapes.

Première étape

Le joueur tire au hasard un billet d'un premier panier. Dans ce panier, on a placé \(10\)  billets marqués « \(\text U_1\)  » et \(2\)  billets marqués « \(\text U_2\)  ».

Deuxième étape

•   Si le joueur a obtenu un billet marqué « \(\text U_1\)  », il tire alors un jeton dans une urne \(\text U_1\)  où sont placés \(10\)  jetons marqués « perdant » et \(2\)  jetons marqués « gagnant ».
  
•   Si le joueur a obtenu un billet marqué « \(\text U_2\)  », il tire alors un jeton dans une urne \(\text U_2\)  où sont placés \(7\)  jetons marqués « perdant » et \(5\)  jetons marqués « gagnant ».
  

On note \(\text A\)  l'événement « Le joueur a tiré un billet \(\text U_1\)  » et \(\text B\)  l'événement « Le joueur a tiré un billet \(\text U_2\)  ». On note \(\text G\)  l'événement « Le joueur a tiré un jeton marqué gagnant ». 

Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

1. Construire un arbre pondéré qui représente ce jeu.

2. Calculer la probabilité des événements \(\text G \cap \text A\)  et \(\text G \cap \text B\) .

3. Montrer que la probabilité de l'événement \(\text G\)  est égale à \(\dfrac{5}{24}\) .

4. a. Quelle est la probabilité de l'événement \(\text A\)  sachant que l'événement \(\text G\)  est réalisé ?
    b. Les événements \(\text A\)  et \(\text G\)  sont-ils indépendants ?

5. Avec un jeton gagnant de l'urne \(\text U_1\) , le joueur reçoit \(5\)  euros ; avec un jeton gagnant de l'urne \(\text U_2\) , le joueur reçoit \(10\) euros ; sinon il ne reçoit rien. On considère la variable aléatoire \(J\)  qui à toute issue du jeu associe le gain algébrique du joueur à la fin du jeu.
    a. Quelles sont les valeurs prises par \(J\) ?
    b. Établir la loi de probabilité de \(J\) .
    c. Déterminer l'espérance mathématique et l'écart-type de cette variable aléatoire et les interpréter dans le contexte de l'exercice.